블랙잭 - Conditional Probability의 게임

카지노에서 벌어지는 모든 게임들은 철저하게 확률(Probability)를 근거로 한 것이며, 이 확률이 카지노측에 유리하게 결정되어 있기 때문에 카지노 비즈니스가 성립되는 것이다. 그런데 수학시간에 배운 사실이지만 이 확률에는 독립확률 (independent probability)와 조건부 확률 (conditional probability)이 있다. 독립확률이란 게임을 몇 번을 반복하더라도 이기거나 질 확률은 변하지 않는 것이며, 그 대표적인 것이 주사위 던지기라고 할 수 있다. 반면에 조건부 확률이란 앞서의 게임의 진행이 그 다음의 게임의 확률에 영향을 미치는 경우를 말한다. 카지노에서 벌어지는 게임 중 조건부 확률이 적용되는 것이 바로 블랙잭이다.

Basic Strategy의 중요성

앞서의 중급자 과정에서 이른바 블랙잭의 정석이라는 이름으로 Basic Strategy를 소개한 바 있다. 고급자란 바로 이 Basic Strategy를 철저하게 마스터한 후 이를 바탕으로 슈(shoe)에 아직 남아 있는 카드의 성격(예를 들어 높은 카드들이 많이 남아 있는지 아니면 낮은 카드들이 많이 남아있는지 등)에 따라 이 Basic Strategy를 부분적으로 변형하여 적용할 수 있는 사람이다. 즉, Basic Strategy를 무시하고서는 더 이상의 기술 발전은 불가능하다. Basic Strategy는 일반적인 확률 조건하에서 의문의 여지가 없는 최선의 선택이다.

블랙잭은 이길 수 있는 게임인가?

앞서 언급한 바 있지만 Basic Strategy만 충실히 지킨다고 해도 카지노측이 가지는 어드벤티지는 거의 제로에 가깝다. 일반적으로 카지노가 플레이어에 비해 0.4% 정도 유리할 뿐이며 싱글덱인 경우 카지노측의 어드벤티지는 0.1%에 불과하다. 이는 이미 1950년대 중반에 컴퓨터를 통한 수 많은 계산과 실험을 통해 수학적으로 확립되고 입증된 사실이다. 그렇다면 이러한 미세한 차이에서 조건부 확률의 특성을 이용하여 조금이라도 더 플레이어에게 유리한 쪽으로 경기를 운영할 수 있다면 블랙잭은 플레이어가 카지노를 beat할 수 있는 게임이 될 수 있지 않을까? 블랙잭 전문가들의 답은 그렇다는 것이다. 다시 말하지만 그 비결은 조건부 확률에 있다. 어떻게 그것이 가능한가.

이론적으로 보자면 간단하다. 카드 덱에서 이미 노출된 모든 카드들을 전부 외울 수 있다면 자연히 남아 있는 카드들은 어떤 것이라는 것도 알 수 있으며, 이를 바탕으로 다음에 나올 특정한 카드의 확률을 다이나믹하게 계산할 수 있게 된다. 예를 들어 A를 오픈 카드로 받은 상태라고 가정하자. 이미 사용해버린 카드들이 거의 대부분 낮은 숫자들이었다면 당연히 다음에 높은 카드가 나와 블랙잭이 될 확률은 정상적인 경우의 확률보다 높아진다. 그렇다면 더 많은 베팅을 하는 것이 유리하다는 말이 성립된다. 반대로 이미 너무 많은 높은 카드들이 빠져버렸다면 블랙잭에 대한 기대확률은 평소보다 줄어든다. 베팅을 낮추어 손해를 줄일 수 있다는 것이다. 쉽게 설명하자면 이것이 바로 조건부 확률을 이용하여 승률을 높일 수 있는 기본 원리가 되는 것이다. 문제는 보통 사람들로서는 그 많은 카드들을 모두 외우고 남은 카드의 조건부 확률을 다이나믹하게 다시 계산한다는 것은 사실상 불가능하다는데 있다. 그러나 아주 정확하지는 않더라도 통계적으로 근사치에 접근시키는 비교적 쉬운 방법은 존재한다. 그것이 바로 카드 카운팅 기술이다.

남아 있는 카드의 성격이 왜 중요한가?

결론부터 말하자면 게임에 사용되는 카드 속에 낮은 카드(2, 3, 4, 5, 6)가 많을수록 딜러가 유리하며, 높은 카드(A, J, Q, K, 10)가 많을수록 플레이어에게 유리하다. 이 사실은 1962년에 UCLA의 수학통계 교수였던 Thorp라는 사람이 이미 증명한 바 있다. 즉, 게임이 진행되는 과정에서 작은 수의 카드들이 많이 나타났다면 게임 후반으로 갈수록 남은 덱에는 상대적으로 높은 수의 카드들의 비율이 높아지고 따라서 플레이어에게 유리한 상황으로 바뀐다는 것이다. 그것은 왜 그런가? 높은 카드가 많을 경우 hit을 해서 21을 넘김으로써 bust될 확률은 그만큼 더 높아진다는 것은 당연한 사실이다. 카드의 합이 12인 상태라고 가정하면 그 상태에서 한 장의 카드를 더 받을 경우 bust될 확률은 30.8%에 불과하지만 만일 남아 있는 카드 중 10 카드의 비율이 정상 확률보다 높다면 그 만큼 bust의 부담은 더 커진다는 것이다. 그런데 중요한 것은 플레이어는 아무 숫자에나 설 수 있지만 딜러는 16 이하에서는 의무적으로 hit를 하여야만 한다는 데 있다. 따라서 플레이어보다 딜러가 bust될 확률이 더 높아지므로 결국 플레이어가 그 만큼 유리해지는 것이다.

큰 카드들이 많이 남아 있을 때 플레이어에게 유리한 점은 또 있다. 일반적으로 더블다운을 하는 경우 높은 카드가 나오는 것이 유리한 경우가 많다. 플레이어는 찬스에 더블다운을 할 수 있으나 딜러는 할 수 없다. A를 받고 그 다음에 10 카드를 받아 블랙잭을 만들 확률은 플레이어나 딜러에게 모두 같지만 플레이어가 블랙잭을 만들 경우 150%를 받는 반면 딜러는 100%만을 받을 수 있다. 결론은 높은 카드들이 많이 남아 있을수록 플레이어에게는 유리해 진다는 것이다. 반면 낮은 카드가 많이 남게 되면 딜러가 유리해지는 이유는 그만큼 딜러가 bust될 확률이 줄어들기 때문이다. 딜러에게 가장 중요한 카드는 5이다. 딜러는 17 이상이면 무조건 서야만 한다. 또한 11 이하에서는 어떤 카드를 받아도 bust될 염려가 없다. 따라서 딜러에게 가장 위험한 숫자는 12에서 16사이가 된다. 그런데 "5" 카드는 최악이라도 17을 만들어 안전하게 설 수 있도록 해주는 결정적인 카드가 된다. 따라서 슈에 5 카드가 득실거린다면 이는 플레이어에게 결정적으로 불리할 수 밖에 없고 이 경우 베팅을 최소화한다던가 확실한 경우가 아니면 더블다운을 하지 않는 등의 소극적 플레이를 해야만 한다.

카운팅 시스템의 기본 원리

가장 간단한 카운트 시스템은 이른바 10 Count라는 것으로 남은 덱에서의 10 카드 (10, J, Q, K)의 비율이 얼마나 되는 지를 헤아리는 것이다. 에를 들어 6덱 게임에서 현재 절반인 3덱 정도가 사용되고 아직 3덱 분량이 남아 있는 상태라고 가정한다. 모두 96매의 10카드가 존재하는데 지금까지 나온 10카드의 매수를 30이었다면 아직 덱에 남아 있는 10카드의 매수는 66매가 된다. 결국 현재 상태는 일반적인 상태보다 10카드의 집적도가 37.5% 이상 더 높다는 것을 알 수 있다. 따라서 플레이어에게 크게 유리한 상태이고 이를 베팅이나 hit, 더블다운 등에 적극적으로 활용할 수 있다는 것이다. 실제 A와 10카드만을 세는 것은 어느 정도 연습을 하면 그다지 어렵지 않게 익힐 수 있고 또 이 정도만 되어도 승률은 반드시 더 높아진다. 그러나 실력이 증가함에 따라 카운팅 기술도 보다 어려워지며 그 만큼 효과도 커진다. 어느 정도 수준의 중급자라면 10카운트 정도는 구사할 수 있다, 고급자라면 적어도 다음에 소개할 오메가 시스템 정도는 몸에 익혀야만 한다. 카운팅이 확실한 경우 정상적인 경우에 비해 플레이어의 어드벤티지는 1% 가까이 증가한다. 통계 기술상의 오차폭인 5,000회 정도 이상의 장기 플레이인 경우 플레이어는 거의 확실하게 카지노를 beat할 수 있다는 결론이 얻어지는 것이다.

오메가 시스템

이론상 완벽한 카운팅은 대단히 복잡하고 어렵다. 일반적으로 3가지의 다른 카운트를 동시에 유지하여야 하기 때문이다. 즉, Insurance를 받는 것이 유리한지 아닌지를 판단하기 위한 Insurance count, 베팅 액수를 늘려야 할 것인지 줄여야 할 것인지를 나타내는 Betting count, 마지막으로 더블다운, split, surrender 등 중요한 플레이의 결정을 내리기 위한 Play count등이 각각 별도로 계산되기 때문이다. 이는 그야말로 천재적인 기억력과 순발력을 가지지 않으면 사실상 불가능에 가까운 카운팅 방법이다. 그래서 좀 더 쉽고 실용적인 카운팅 방법이 고안되었는데 이것이 바로 오메가 시스템이다. 오메가 시스템은 실제 카드 값을 정확하게 계산하지 않는다. 다만 10종류의 카드를 5가지로 단순화하여 각각 + 또는 -값(포인트)를 부여하여 현재 누계를 유지함으로써 남은 카드의 상대적 특성을 파악할 수 있도록 고안된 것이다. 각 카드 값에 대한 포인트들은 다음과 같다.

오메가 시스템의 요점은 위의 값을 사용하여 1덱의 합계를 구하면 반드시 0가 된다는 것이다. 현재 카운트가 0에 가깝다는 것은 그만큼 나머지 카드의 분포가 비교적 잘 섞여 있으므로 특별히 높은 카드나 낮은 카드의 비율이 다른 쪽보다 높지 않다는 것이다. 이런 상태라면 최선의 선택은 당연히 앞서 배운 Basic Strategy가 된다. 반면, 카운트의 값이 높다는 것은 상대적으로 낮은 카드가 많이 나왔다는 것이고 따라서 남은 덱에 높은 카드들이 있을 확률이 더 높다는 의미이다. 이는 즉 플레이어에게 유리한 상태라는 의미이며, 반대로 카운트의 값이 낮다면 이미 높은 카드들이 많이 사용되어 앞으로 더 나올 확률이 그만큼 적고 따라서 플레이어가 불리한 상태가 된다.

여기에서 중요한 점은 실제 카지노에서는 통상 8덱 정도의 많은 카드를 쓴다는 것이다. 싱글덱에서 +8이라는 의미와 8덱에서 +8이라는 것에는 큰 차이가 있다. (그래서 블랙잭 선수들은 적은 덱의 게임을 선호한다. 4 deck game에 비해 8 deck game은 동일한 룰이 적용된다 해도 0.33% 더 불리하다) 또한 이제 막 시작한 게임에서의 +8과 슈가 거의 끝나갈 무렵의 +8이 가지는 의미의 차이 또한 매우 크다. 따라서 현재의 카운트 (이를 running count라 한다)가 실제 정확한 확률로 연결되기 위해서는 남아 있는 카드의 수를 감안하여 일정한 조정을 해 줄 필요가 생긴다. 이렇게 구해진 카운트 값을 true count라고 부르며 다음과 같은 공식으로 설명된다. True Count = (Running Count) / (남아있는 덱의 수)

예를 들어 현재의 running count가 +9이고 현재 남아있는 덱의 수가 3이라면 (약 156매) 현재의 true count는 +3이 된다는 것이다. Running count를 정확하게 구하기 위해서는 현재 슈(shoe)에 남아있는 카드의 분량을 눈대중으로 보고 덱의 수로 환산할 수 있는 능력이 필요하다. 이는 생각보다는 어렵지 않으며 어느 정도의 훈련으로 비교적 정확하게 남은 카드의 매수를 추측하는 것이 가능하다.

오메가 시스템에서의 전략

오메가 시스템에 의한 카드 카운팅 기술을 어느 정도 익혔다면 그 다음은 실제로 가운팅 값을 게임에 적용하는 방법을 알아야 한다. 기본 원리는 간단하다. Running Count가 높으나 낮으냐에 따라 Basic Strategy의 적용을 다소 달리 하는 것이다. 예를 들어 현재의 Running Count가 낮다고 가정하자. 이는 곧 다음에 나올 카드가 낮은 수일 가능성이 높다는 의미이다. 이 경우 정상적인 Basic Strategy에 어떤 변화를 주어야 할 것인가? 먼저 생각할 수 있는 것은 더블다운을 보다 소극적으로 결정하여야 한다는 것이다. 내 카드의 합이 10이나 11로 좋은 반면 딜러의 카드는 3, 4, 5, 6 등으로 나쁜 경우 더블다운을 한다는 것은 내 카드는 새로 10을 받아 20 또는 21로 최상의 카드가 되는 반면 딜러의 경우는 bust될 확률이 높다는데 근거가 있는 것인데, Running Count가 낮은 상황에서는 내 카드가 좋아질 확률은 그다지 높지 않은 반면 딜러가 bust될 확률 또한 낮아지기 때문이다. Running Count에 근거하여 내릴 수 있는 판단은 다음과 같다.

더블다운의 결정

Hit 또는 stay의 결정

Split여부의 결정

Insurance 상황에서 이를 받을 것인지 말 것인지의 여부

Betting을 표준치보다 더 올릴 것인지 아니면 내릴 것인지의 여부 등

그러면 어느 정도의 Running Count가 높은 것이고 어디부터가 낮은 것으로 볼 것인가? 일반적으로 이 기준은 플러스 마이너스 6로 본다. 즉, +6보다 높으면 높은 카드가 명백히 더 많이 남아있다고 보며, 반대로 마이너스 6보다 낮으면 낮은 카드가 슈에 더 많이 남아있다고 보는 것이다. 마이너스 6부터 플러스 5 사이는 그 중간의 상태라고 할 수 있으며 따라서 이 상태에서는 이미 언급한 Basic Strategy를 그대로 적용하면 된다.

-6 Strategy

Running Count가 -6 이하일 경우에는 일단 플레이어가 불리한 상태라고 보아야 한다. 따라서 베팅 금액도 최소화할 필요가 있다. 11의 합을 가지고 있다 하더라도 더블다운하여 21을 만들 확률은 그리 크지 않다. 따라서 Basic Strategy하에서는 11을 가진 경우 딜러의 홀 카드가 A만 아니면 더블다운 하는 것으로 되어 있으나 -6 Strategy에서는 딜러 카드가 8일때 까지만 더블다운이 가능하며 9, 10 또는 A인 경우에는 비록 11을 잡았다 하더라도 그냥 Hit 만 하여야 한다. 질 경우의 피해를 최소화하자는 것이다. 물론 딜러가 A를 가진 경우라도 딜러 또한 블랙잭을 잡을 확률은 마찬가지로 낮으므로 당연히 insurance는 받아서는 안된다. -6 Strategy 하에서 플레이어의 카드와 딜러의 오픈 카드에 대한 구체적인 전략은 다음의 표와 같다.

H: Hit, S: Stand, D: Double down, P: Split, T:10 card

노란색 바탕은 Basic Strategy와의 차이점

+6 Strategy

Running Count가 +6 이상이라면 일단 높은 카드 (9, 10, A)가 나올 확률이 높은 상태이다. 따라서 일반적으로 딜러에 비해 플레이어가 유리한 상태이므로 적극적인 베팅과 플레이가 필요하다. 두 장으로 11을 잡은 경우 설사 딜러가 A를 가지고 있더라도 과감하게 더블다운하며, 딜러 카드가 5 또는 6의 나쁜 카드인 경우 내 카드 합이 설사 8일 경우라도 더블다운을 한다. 중급 과정에서는 어떤 경우라도 insurance를 받지 말라고 가르치지만, 특히 Running Count가 높은 상태이고 딜러가 A를 잡았다면 블랙잭의 확률이 또한 높으므로 insurance를 받을 필요가 있다. (즉, insurance를 받는 유일한 경우는 running count가 +6 이상인 경우이다) 구체적인 +6 Strategy는 다음의 표와 같다.

H: Hit, S: Stand, D: Double down, P: Split, T:10 card, Sr:Surrender

노란색 바탕은 Basic Strategy와 다른 부분

카운팅 연습 및 주의사항

오메가 시스템은 비교적 단순한 카운팅 기술에 속하지만 이를 실제로 몸에 배도록 하기까지는 상당한 기간의 연습이 필요하다. 가장 많이 사용되는 연습방법은 2덱의 카드를 잘 섞은 후 2장씩 한꺼번에 펴나가는 것이다. 2장씩 펴면서 카운트의 합을 머리속으로 기억해 나가되, 맨 마지막 2장이 남으면 그 중 한 장만을 넘겨본 후 그 때까지의 합을 바탕으로 마지막 남은 한 장의 카드가 무엇인지를 추측하여 본다. (오메가시스템에서 최종 합계는 항상 0이 된다) 여기에서 중요한 것은 속도이다. 순간적으로 계산이 되지 않으면 실제 카지노에서의 속도를 따라잡을 수 없어 무용지물이 된다. 2덱으로 하는 연습의 경우 최소한 1분 30초 이내에 착오없이 끝낼 수 있어야 한다. (블랙잭 프로들은 대개 30초 이내에 계산을 마치는데 이는 그냥 카드를 마구 뿌리는 정도의 속도이다) 그러고 누가 옆에서 말을 거는 등 어떤 상황에서도 현재의 카운터를 잊어버리면 안된다. 실제 의사결정에 앞서 슈에 남은 카드 매수를 어림하여 덱 수로 환산하는 것 또한 연습이 필요하다.

또 한가지 중요한 점은 라스베가스의 모든 카지노에서는 카운팅을 금지하고 있다는 것이다. 피트메니저(Pit Manager)는 플레이어중 누군가가 카운팅을 하고 있다는 의심이 들면 즉시 그 플레이어를 쫒아낼 수 있는 법적인 권한을 가지고 있다. 이럴 경우 카지노간의 협약에 의해 그 플레이어는 다른 카지노에서도 ban을 당하게 된다. 따라서 카운팅을 하고 있다는 느낌마저도 주어서는 안된다는 것이 중요하다. 다만, 아틀란틱 시티는 카운팅의 합법성 여부에 대해 오랜 법정 공방이 있었으며 결국 카지노측이 져서 카운팅이 합법적으로 인정된다. 그러나 역시 카운터라는 인상을 피트매니저나 딜러에게 준다면 일단 요주의 인물이 될 수 밖에 없으므로 조심하는 것이 좋겠다.